Bir Çokgen Sorusu 1

Çokgen konusunu işlerken, derste aklıma aşağıdaki soru gelmişti. “Sabah incileri” şeklinde, doğaçlama olarak soruyu yazıp hemen derste çözdük.

Köşeleri, düzgün bir 36-genin köşeleri üzerinde olan kaç düzgün çokgen çizilebilir ?

Soruyu sevdim. Çünkü, (çok ilginç olmasa da), düşünmeye sevk eden, çizmeyi, denemeyi ve yorumlamayı gerektiren bir soru. Beta testini yapması için, soruyu bir öğrencime verdiğimde soru daha da başka yerlere gitti. Çünkü ilk düşündüğümüzde bir noktayı atlamışız ki, o da bizi simetri olayına yöneltti. Gâyet güzel oldu. Soru, düzeltilip derste (bir daha) doğru şekilde çözülmüş olsa da, kimse pek ilgilenmediğinden, sınavda sormayı düşünüyordum. Fakat bu soru sınavda yer almadı, o yüzden detaylı olarak açıklanmasında bir sakınca görmüyorum.  Lâfı daha fazla uzatmadan, sorunun (yukarıdakinden farklı) düzeltilmiş halini soralım.

Köşeleri, düzgün bir 36-genin köşeleri üzerinde ve birbirine eş olmayan kaç düzgün çokgen çizilebilir ?

Soruyu anlamaya çalışalım. Düzgün bir 36-gen var. Bu 36-genin köşeleri üzerinde olan başka düzgün çokgenler çizilecek. Çizilmesi ve dolayısıyla görmesi de kolay olacağından, düzgün bir 6-gen ile başlayabiliriz. Bir 6-gen çizin ve deneyin, yani tavsiyemiz ve “olmazsa olmaz”ımız, bizzat kalemi elinize alıp çizmeniz.

Yukarıdaki şekilden de görüleceği üzere, köşeleri 6-genin üzerinde  olacak biçimde çizilebilen düzgün çokgenler, 3-gen ve 6-genin kendisidir. Sadece iki tane varmış. Bu yüzden, 6-gen sorunun içeriğini kavramak için biraz yetersiz gibi. Bu yüzden kenar sayısını arttıralım. Ama daha önce, örnek basit de olsa, oluşturduğumuz bu şekilden görülecek sonuç, tabii ki  “3” ile “6”nın ilişkisi. 6-genin içine 3-gen  çizebiliyoruz. Çünkü, “3”, “6”yı (kalansız) böler. Dolayısıyla, 6-genin ardışık kenarlarını, her birinin sayısı eşit olacak şekilde gruplayabiliriz. Burada, 3 grup oluştu ve herbirinde 2 kenar var ( 6:3 = 2).

Bazılarının, “açıklanması uzun ve gereksiz” diye düşünebileceği, “Herbirinin sayısı eşit olacak biçimde gruplayabiliriz” kısmı aslında önemli. Bu açıklama, “Bir düzgün çokgende, bir köşeden, eşit sayıda kenar atlayarak çizeceğiniz her  köşegenin hep aynı uzunlukta olacağını” imâ ediyor. Bu eşit uzunluktaki köşegenler de, tabii ki aradığımız düzgün çokgenin … ları olacak. (Anladın sen onu). “Çevrel çember” ve “Düzgün çokgen”in ilişkisini gerçekten anlamış olanlar için, bu yazı gayet açık ve anlaşılır olmalı. “O da ne demek ?” diyorsanız, şu uygulama üzerinde biraz oynayarak soruyu kendiniz için daha açık hale getirebilirsiniz.

Şimdi aynı olayı, düzgün bir 12-gen ile deneyelim. Köşeleri de adlandırarak 12-geni oluşturalım.

Onikigenin içine düzgün 3-gen çizilebilir. Çünkü “3”, “12”yi (kalansız biçimde) böler. Bir diğer deyişle 12-genin kenarlarını, her birinin sayısı eşit olacak şekilde gruplayabiliriz. Burada, 3 grup oluştu ve herbirinde 4 kenar var ( 12:3 = 4 / Örneğin, A1’den A5’e kadar bir grup vb.)

Onikigenin içine düzgün 4-gen de çizilebilir. Çünkü “4”, “12”yi (kalansız biçimde) böler. Bir diğer deyişle 12-genin kenarlarını, her birinin sayısı eşit olacak şekilde gruplayabiliriz. Burada, 4 grup oluştu. ( 12:4 = 3)

Onikigenin içine düzgün 6-gen de çizilebilir. Çünkü “6”, “12”yi (kalansız biçimde) böler. Burada, 2 grup oluştu. ( 12:6 = 2). Yine aynı çerçevede, “12”, “12” yi böler ve dolayısıyla bir 12-gen de çizilebilir (ilk çokgenin kendisi). Yani aradığımız çokgenlerden biri, köşeleri üzerine çokgen oluşturduğumuz çokgenin kendisi.

Bu durumda, şekilden de görülebileceği üzere;

Köşeleri, düzgün bir 12-genin köşeleri üzerinde ve birbirine eş olmayan 4 düzgün çokgen çizilebiliyormuş. Bunlar, 3-gen, 4-gen, 6-gen ve 12-gen. Bunu hesap yoluyla bulmak istersek, açıklamalardan görüleceği üzere 12-genin bölenlerine bakılmalı. Bu durumda 12-genin pozitif bölenlerinin sayısına ihtiyacımız var. Çünkü 12’yi bölebilen bir sayı, 12 adet kenarı da eşit parçalara ayırır. 12’nin pozitif bölenleri; 1,2,3,4,6,12. Etti 6. Demek ki bulmamız gereken sayının 2 fazlasını bulduk. Bunlar da, kolaylıkla anlaşılacağı üzere, 1-gen (nokta) ve 2-gen (doğru parçası).

Şimdi asıl sorumuza dönelim. 36-gen için aynı hesabı yapacak olursak, 36’nın pozitif bölenlerini (bu kez hesap yoluyla) bulalım. 36’yı asal çarpanlarına ayırıyoruz. 36 = 22. 32 ve hatırlanacak olursa; Pozitif bölenlerin sayısı da (2+1).(2+1) = 3.3 = 9. Ve de, 1-gen ile 2-geni de çıkartırsak  9 – 2 = 7 tane imiş. (Yani, 3/36,4/36, 6/36, 9/36, 12/36, 18/36, 36/36)

Başlangıçta, basit (ya da bazıları için zor) gibi görünen bu sorunun detaylı olarak açıklandığını sanıyorum. Bu sorudan ileriye gidilecek daha bir çok yer var. Bu yüzden yanıtını bir sonraki yazıda vermek üzere, ilgilenenler için, soruyu, akla ilk gelen haliyle tekrar soralım. Bu sorudan yola çıkarak, yukarıda yaptığımız üzere, her durumda uygulayabileceğimiz bir yöntem bulmaya da çalışabilirsiniz.

Köşeleri, düzgün bir 36-genin köşeleri üzerinde olan kaç düzgün çokgen çizilebilir ?

Bu arada, madem ki soruyu 12-gen üzerinden açıkladık. Müzik ve armoniyle uğraşanlar için de aklıma hemen şu soru geldi

Çevrimlerinin her biri aynı olan kaç akor vardır ?

Şekiller hazırlanırken oluşturulan son çizim de buydu ve oldukça hoş göründüğünü düşündüğüm için buraya koymadan edemedim. Anlamadığınız kısım veya buradan yola çıkarak aklınıza gelen başka sorular varsa yorum olarak buradan paylaşabilirsiniz…

1 Yıldız2 Yıldız3 Yıldız4 Yıldız5 Yıldız (14 kişinin oyu ile 5 üzerinden ortalama 4,86 verilmiş)
Loading...

Bu yazı toplamda 8712, bugün ise 0 kez görüntülenmiş

Tags: , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,

Leave a Reply